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Ejercicios Resueltos de
Probabilidad

Juan José Salazar González Marta López Yurda

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CAPÍTULO 3. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 93

P3.8] Supongamos que la duración en minutos de las llamadas telefónicas sigue
una distribución dada por la función

Fξ(x) = 1−
(

e−x/3

2

)


(
e−bx/3c

2

)
, para todo x ≥ 0.

Calcular la probabilidad de que la duración de una llamada cualquiera
sea:

1. superior a 6 minutos;

2. igual a 6 minutos.

Solución

Sea ξ una variable aleatoria con la distribución indicada en el enunciado
que mide la duración (en minutos) de una llamada telefónica.

1. Se tiene que:

P (ξ > 6) = 1− Fξ (6) =
e−6/3

2
+

e−b6/3c

2
= 2 · e

−2

2
= e−2.

2. Por otra parte:

P (ξ = 6) = P (ξ ≤ 6)− P (ξ < 6) = Fξ (6)− Fξ
(
6−

)
=

= 1− e−2 − ĺım
x→6−

[
1− e

−x/3

2
− e

−bx/3c

2

]
=

= 1− e−2 − 1 + e
−2

2
+

e−1

2
=

e−1 − e−2
2

.

P3.9] Demostrar que F (x) =
bxc∑
n=1

1/2n, para todo x ≥ 1, es función de distri-
bución.

Solución

Comprobemos las condiciones que debe verificar toda función de distri-
bución:

1. Se supone, ya que no se indica nada al respecto, que F (x) = 0 para
todo x < 1, por lo que ĺım

x→−∞
F (x) = 0.

2. ĺım
x→+∞

F (x) = ĺım
x→+∞

bxc∑
n=1

1/2n=
∞∑

n=1
1/2n= 1.

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94 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD

3. ĺım
h→0+

F (x + h) = ĺım
h→0+

bx+hc∑
n=1

1/2n=
bxc∑
n=1

1/2n=F (x), para todo x ≥
1. Por lo tanto, F es continua por la derecha en todo punto de la
recta real.

4. F (x1) =
bx1c∑
n=1

1/2n≤ F (x2) =
bx2c∑
n=1

1/2n, para todo 1 ≤ x1 ≤ x2. Además,
ya que F (x) = 0, para todo x < 1, se concluye que F es monótona.

5. Es claro que F (x) ≥ 0, para todo x.
P3.10] Determinar el valor k para que cada una de las siguientes funciones sean

función de densidad:

1. f(x) = kxe−kx, para todo x > 0

2. f(x) = k/


1− x, para todo x ∈ (0,


2/2)

3. f(x) = k/(1 + x2), para todo x ∈ IR
Solución

Nótese que para las tres funciones se verifica f (x) ≥ 0 para k > 0.
Comprobemos en cada caso la segunda condición.

1.
∫∞
0

f (x) ∂x =
∫∞
0

kxe−kx∂x = 1/k ·Γ (2) = 1/k, lo que es 1 si k = 1.
2.

∫√2/2
0

f (x) ∂x =
∫√2/2
0

k(1− x)−1/2∂x
= k ·

[


(
1−


2/2

)1/2
/ (1/2) + 2

]
, lo que es uno si k = 1. 0898.

3.
∫ +∞
−∞ f (x) ∂x =

∫ +∞
−∞ k(1 + x

2)−1∂x
= k · (arctan (−∞)− arctan (+∞)) = k [π/2− (−π/2)] = kπ, lo que
es 1 si k = 1/π.

P3.11] Sea ξ una variable aleatoria con función de densidad fξ(x) = kx +
1/2, para todo x ∈ [−1, 1].
1. Determinar los valores de k para los cuales fξ(x) es ciertamente una

función de densidad.

2. Calcular la esperanza, la moda y la mediana de ξ.

3. ¿Para qué valores de k se minimiza la varianza de ξ?

Solución

1. Debe verificarse que fξ(x) ≥ 0, para todo x ∈ [−1, 1]. Se han de
distinguir dos casos:

a) Si k > 0, la función de densidad es una recta con pendiente
positiva. Por lo tanto, tiene que imponerse que fξ(−1) = −k +
1/2 ≥ 0, es decir, k ≤ 1/2.

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Bibliograf́ıa

[1] J.M. Casas, C. Garc��a, L.F. Rivera, A.I. Zamora: Problemas de
Estad́ıstica. Descriptiva, probabilidad e inferencia. Ed. Pirámide, Madrid,
1998.

[2] C.M. Cuadras: Problemas de Probabilidades y Estad́ıstica. Vol 1: Pro-
babilidades. Ed. PPU, Barcelona, 1985.

[3] F.J. Mart��n Pliego, J.M. Montero, L. Ru��z Maya: Problemas de
Probabilidad. Ed. AC, Madrid, 1998.

[4] J. Montero, L. Pardo, D. Morales, V. Quesada: Ejercicios y Pro-
blemas de Cálculo de Probabilidades. Ed. Dı́az de Santos, Madrid, 1988.

[5] V. Quesada, A. Isidoro, L.J. L�opez: Curso y Ejercicios de Estad́ıstica.
Ed. Alhambra, 1984.

[6] V.A. Rohatgi: An Introduction to Probability Theory and Mathematical
Statistics. Ed. John Wiley & Sons, Nueva York, 1976.

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