Download 2014 Matematica Locala Bucuresti Clasa a Va Subiectebarem PDF

Title2014 Matematica Locala Bucuresti Clasa a Va Subiectebarem
File Size168.0 KB
Total Pages3
Document Text Contents
Page 1

Problema 3 a fost selectat� din Suplimentul Gazetei Matematice- Seria B, nr. 10/2013,
publica�ie lunar� pentru tineret, fondat� în anul 1895, editat� de Societatea de �tiin�e

Matematice din România








OLIMPIADA DE MATEMATIC�

– ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 -



CLASA A V-A





Not�: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se puncteaz� de la 0 la 7 puncte.

Pe foaia de concurs se trec rezolv�rile complete. Timp de lucru: 2 ore.



1. Determina�i numerele ab �tiind c� împ�r�ind num�rul 5ab la num�rul ba ob�inem câtul 5
�i restul 25.




2. a) Determina�i toate perechile de numere naturale ( ),n p care verific� egalitatea

( )( )1 2 1 2 3 4n n p+ + = + + + ;

b) Determina�i câte perechi de numere naturale ( ),n p care verific� egalitatea

( )( )1 2 1 2 3 ... 2014n n p+ + = + + + + .



3. Se consider� num�rul
2014

9 99 999 ... 99...99 2014.
cifre

n = + + + + +
���



a) Ar�ta�i c� num�rul n este divizibil cu 10;
b) Determina�i câtul �i restul împ�r�irii num�rului n la 111.



4. Se consider� mul�imea A care are ca elemente numere naturale scrise cu cinci cifre
diferite care apar�in mul�imii { }1, 3, 5, 7, 9 .

a) Determina�i câte numere din mul�imea A au prima cifr� 1 �i ultima cifr� 3;
b) Determina�i câte elemente con�ine mul�imea A ;
c) Calcula�i suma tuturor elementelor din mul�imea A .




Bucuresti

Page 2

OLIMPIADA DE MATEMATIC�
– ETAPA PE SECTOR, 23.02.2014 -



CLASA A V-A

SOLU�II �I BAREME ORIENTATIVE


Not�: Fiecare subiect se puncteaz� de la 0 la 7 puncte. Se acord� numai punctaje întregi.
Orice alt� rezolvare se asimileaz� conform baremului.



Subiectul 1. Determina�i numerele ab �tiind c� împ�r�ind num�rul 5ab la num�rul ba ob�inem
câtul 5 �i restul 25 .

Prof. Cristian Mangra, Bucure�ti

Detalii rezolvare
Barem

asociat

Din teorema împ�r�irii cu rest avem 5 5 25ab ba= ⋅ + , cu 25ba > . 2 p
Folosind scrierea în baza 10 ob�inem 19 8 4a b⋅ = ⋅ + . 2 p

Deoarece num�rul din membrul drept se divide cu 4 deducem c� { }4,8a ∈ . 2 p

Pentru 4a = , ob�inem 9b = �i num�rul c�utat este 49 .
Pentru 8a = nu avem solu�ie.

1 p




Subiectul 2.
a) Determina�i toate perechile de numere naturale ( ),n p care verific� egalitatea

( )( )1 2 1 2 3 4n n p+ + = + + + ;

b) Determina�i câte perechi de numere naturale ( ),n p care verific� egalitatea

( )( )1 2 1 2 3 ... 2014n n p+ + = + + + + .

Prof. Ion Cicu, Bucure�ti

Detalii rezolvare
Barem
asociat

a) Avem ( )( )1 2 10n n p+ + = , deci 1n + este divizor al lui 10, adic� { }1 1,2,5,10n + ∈ 1p

Ob�inem { }0,1,4,9n ∈ . Convin perechile 0, 5n p= = �i 1, 2n p= = . 2p
b) R�spuns: 0 perechi
Avem 1 2 3 ... 2014 1007 2015+ + + + = ⋅ care este num�r impar. 1p
Numerele 1n + �i 2n p+ au parit��i diferite deoarece 1 este impar, iar 2 p este par.

Prin urmare, num�rul ( )( )1 2n n p+ + este par.
2p

În concluzie ( )( )1 2 1 2 3 ... 2014n n p+ + ≠ + + + + , oricare ar fi numerele naturale n �i p. 1p

Similer Documents