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TagsDecision Making Probability Random Variable Probability Distribution Randomness
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Objetivos

Contenido del capítulo

177

c a p í t u l o

• Presentar las distribuciones
de probabilidad que más se
utilizan en la toma de
decisiones

• Utilizar el concepto de valor
esperado para tomar
decisiones

• Mostrar cuál distribución de
probabilidad utilizar y cómo
encontrar sus valores

• Entender las limitaciones de
cada una de las distribuciones
de probabilidad que utilice

5.1 ¿Qué es una distribución de
probabilidad? 178

5.2 Variables aleatorias 181
5.3 Uso del valor esperado en la

toma de decisiones 187
5.4 La distribución binomial 191
5.5 La distribución de Poisson

202
5.6 La distribución normal:

distribución de una variable
aleatoria continua 209

5.7 Selección de la distribución
de probabilidad correcta 222

• Estadística en el trabajo 223
• Ejercicio de base de datos

computacional 224

• Términos introducidos en el
capítulo 5 225

• Ecuaciones introducidas en
el capítulo 5 226

• Ejercicios de repaso 227

55 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

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Page 2

178 Capítulo 5 Distribuciones de probabilidad

L
as máquinas de rellenado modernas están diseñadas para trabajar
de manera eficiente y con una alta confiabilidad. Estos mecanismos
pueden llenar tubos de dentífrico con una escala de precisión de 0.1

onzas el 80% de las veces. Un visitante de la planta que observa cómo
los tubos ya llenos son empaquetados en una caja, pregunta: ¿Cuáles
son las posibilidades de que exactamente la mitad de los tubos de una
caja seleccionada al azar están llenos con una precisión de 0.1 onzas del
nivel deseado? Aunque no podemos hacer una predicción exacta, las
ideas sobre distribuciones de probabilidad que se analizan en el
presente capítulo nos permiten dar una respuesta bastante buena a
la pregunta. ■

5.1 ¿Qué es una distribución de probabilidad?
En el capítulo 2 describimos a las distribuciones de frecuencias como una forma útil de resumir las
variaciones en los datos observados. Preparamos distribuciones de frecuencias haciendo una lista de
todos los resultados posibles de un experimento para después indicar la frecuencia observada de ca-
da resultado posible. Las distribuciones de probabilidad están relacionadas con las distribuciones de
frecuencias. De hecho, podemos pensar que una distribución de probabilidad es una distribu-
ción de frecuencias teórica. ¿Qué significa lo anterior? Una distribución de frecuencias teórica es
una distribución de probabilidades que describe la forma en que se espera varíen los resultados. Co-
mo estas distribuciones representan expectativas de que algo suceda, resultan modelos útiles para ha-
cer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. En capítulos posteriores, anali-
zaremos los métodos que utilizamos bajo tales condiciones.

Ejemplos de distribuciones de probabilidad
Para comenzar nuestro estudio de las distribuciones de probabilidad, regresemos a la idea de la mo-
neda no alterada que introdujimos en el capítulo 4. Suponga que lanzamos esa moneda dos veces.
La tabla 5-1 lista los posibles resultados para este experimento de dos lanzamientos. [Cara (head)
está representada con una H; cruz (tail), con una T.]

Suponga ahora que nos interesa formular una distribución de probabilidad del número de cru-
ces (T) que podrían caer cuando lanzamos la moneda dos veces. Podríamos empezar por anotar
cualquier resultado que no contenga cruces. Con una moneda no alterada, estaríamos hablando ex-
clusivamente del tercer resultado de la tabla 5-1: H, H. Luego anotaríamos los resultados que tuvie-
ran sólo una cruz (segundo y cuarto resultados de la tabla 5-1) y, por último, incluiríamos el primer
resultado que contiene dos cruces. En la tabla 5-2 ordenamos los resultados de la 5-1 para enfatizar
el número de cruces contenidas en cada resultado. En este punto, debemos tener cuidado y conside-
rar que la tabla 5-2 no representa el resultado real de lanzar una moneda no alterada dos veces. Más

Experimento con una
moneda no alterada

Distribuciones de
probabilidad y
distribuciones
de frecuencias

Posibles resultados de
lanzar dos veces una
moneda no alterada

Tabla 5-1 Primer Segundo Número de cruces Probabilidad de los cuatro
lanzamiento lanzamiento en dos lanzamientos resultados posibles

T T 2 0.5 � 0.5 � 0.25
T H 1 0.5 � 0.5 � 0.25
H H 0 0.5 � 0.5 � 0.25
H T 1 0.5 � 0.5 � 0.25

1.00

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Revisemos nuevamente el problema de la intersección presentado anteriormente. En éste calcu-
lamos, de la siguiente manera, la probabilidad de que hubiera cuatro accidentes:

P(x) � �
�x �

x!
e��
� [5-4]

P(4) � �
(5)4

4
(e
!

�5)


��
(
4
6


25)
3
(0


.0
2
06



74
1
)



� 0.17552

Para utilizar la tabla 4b del apéndice todo lo que necesitamos saber son los valores de x y � (lambda),
en este ejemplo, 4 y 5, respectivamente. Después busque en la tabla. Primero encuentre la columna
cuyo encabezado es 5; luego recórrala hacia abajo hasta que esté a la altura del 4 y lea la respuesta
directamente, 0.1755. Eso es mucho menos trabajo, ¿verdad?

Un ejemplo más nos asegurará de que ya dominamos el método. En la página anterior, calcula-
mos la probabilidad de Poisson de tener 0, 1 o 2 accidentes como 0.12469. Para encontrar este mismo
resultado mediante la tabla 4b del apéndice es necesario que busquemos de nuevo la columna cuyo
encabezado es 5, luego hay que recorrerla hacia abajo y sumar los valores correspondientes a 0, 1 y
2, de esta manera:

0.0067 (Probabilidad de tener 0 accidentes)
0.0337 (Probabilidad detener 1 accidente)

Uso de la tabla 4b
para buscar probabi-
lidades de Poisson

5.5 La distribución de Poisson 205

Distribución de proba-
bilidad de Poisson del
número de accidentes
por mes

Tabla 5-12 x � Número de P(x) � Probabilidad de tener
accidentes exactamente ese número de accidentes

0 0.00674
1 0.03370
2 0.08425
3 0.14042
4 0.17552
5 0.17552
6 0.14627
7 0.10448
8 0.06530
9 0.03628

10 0.01814
11 0.00824

0.99486 ← Probabilidad de tener de 0 a 11 accidentes
12 o más 0.00514 ← Probabilidad de tener 12 o más (1.0 � 0.99486)

1.00000

FIGURA 5-7

Distribución de
probabilidad de
Poisson del núme-
ro de accidentes

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

Número de accidentes

Pr
ob

ab
ili

da
d

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12≥

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0.0842 (Probabilidad de tener 2 accidentes)
0.1246 (Probabilidad de tener 0, 1 o 2 accidentes)

Otra vez, las pequeñas diferencias en los dos resultados se deben al redondeo.

La distribución de Poisson como una aproximación
de la distribución binomial
En algunas ocasiones, si deseamos ahorrarnos la tediosa tarea de calcular distribuciones binomiales
de probabilidad, podemos utilizar la distribución de Poisson. La distribución de Poisson puede ser
una razonable aproximación de la binomial, pero sólo bajo ciertas condiciones. Tales condiciones se
presentan cuando n es grande y p es pequeña, esto es, cuando el número de ensayos es grande y la
probabilidad binomial de tener éxito es pequeña. La regla que utilizan con más frecuencia los es-
tadísticos es que la distribución de Poisson es una buena aproximación de la distribución bino-
mial cuando n es igual o mayor que 20 y p es igual o menor a 0.05. En los casos en que se cum-
plen estas condiciones, podemos sustituir la media de la distribución binomial (np) en lugar de la
media de la distribución de Poisson (�), de modo que la fórmula queda:

Uso de la fórmula de
Poisson modificada
para aproximar las
probabilidades
binomiales

206 Capítulo 5 Distribuciones de probabilidad

Utilicemos la fórmula para la probabilidad binomial, [5-1], y la fórmula de la aproximación de
Poisson, [5-5], en el mismo problema para determinar el grado en el que la distribución de Poisson
es una buena aproximación de la binomial. Digamos que tenemos un hospital con 20 aparatos para
diálisis y que la probabilidad de que cualquiera de ellos no funcione bien durante un día cualquiera
es de 0.02. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres máquinas estén fuera de servicio en el
mismo día? En la tabla 5-13 mostramos ambas respuestas a esta pregunta. Como podemos darnos
cuenta, la diferencia entre las dos distribuciones de probabilidad es pequeña (de sólo el 10% de error,
aproximadamente, en este ejemplo).

Comparación de las
fórmulas de Poisson
y binomial

Distribución de Poisson como una aproximación de la distribución binomial

P(x) � �
(np)x

x


!
e�np

� [5-5]

Comparación
de los plantea-
mientos de la
probabilidad de
Poisson con la
probabilidad
binomial en el
problema de
las máquinas
de diálisis

Tabla 5-13 Planteamiento de Poisson Planteamiento binomial

P(x) � �
(np)x �

x!
e�np

� [5-5] P(r ) � �
r!(n

n


!
r )!

� prqn�r [5-1]

P(3) � P(3) � �
3!(20

20


!
3)!

� (0.02)3(0.98)17

� � 0.0065



� 0.00715

(0.064)(0.67032)
��

6

(0.4)3e�0.4
��
3 � 2 � 1

(20 � 0.023 e�(20 � 0.02)
���

3!

Las personas dedicadas a la estadística
buscan situaciones en las que una dis-
tribución (binomial), que tiene probabi-
lidades con cálculos complicados, se

pueda sustituir con otra (de Poisson, por ejemplo), cuyas
probabilidades es bastante sencillo calcular. Aun cuando al
hacerlo, con frecuencia se pierde un poco de exactitud, el

tiempo que se gana vale la pena. En este caso, se supone
que la distribución de Poisson es una buena aproximación
de la distribución binomial, pero esta suposición es válida
sólo que n sea mayor o igual que 20 y p menor o igual que
0.05. Los supuestos basados en tales valores estadísticos
probados no causarán problemas.

SUGERENCIAS
Y

SUPOSICIONES

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1,460 solicitudes de préstamo por año y que la probabilidad de que sean aceptadas fue, en promedio, de
aproximadamente 0.8.
a) Ansel tiene curiosidad acerca del promedio y de la desviación estándar del número de préstamos acep-

tados por año. Encuentre esas cantidades.
b) Suponga que después de una minuciosa investigación el funcionario de crédito le dice a Ansel que en

realidad las cantidades correctas son de 1,327 solicitudes al año con una probabilidad de aprobación
de 0.77. ¿Cuáles son ahora la media y la desviación estándar?

■ 5-87 Ansel Fearrington (vea el ejercicio 5-86) se enteró de que el funcionario de crédito que le había atendido
fue despedido por no seguir las directrices de préstamo del banco. El banco anuncia ahora que todas las
solicitudes de préstamo financieramente sólidas serán aprobadas. Ansel cree que de cada 5 solicitudes,
3 son sólidas financieramente.
a) Si Ansel está en lo cierto, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 6 de las siguientes 10 solicitu-

des sean aprobadas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 3 solicitudes sean aprobadas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 2, pero menos de 6 solicitudes sean aprobadas?

■ 5-88 Krista Engel es la administradora de campaña de un candidato a senador de Estados Unidos. El consenso
del personal es que el candidato tiene un apoyo del 40% de los votantes empadronados. Una muestra alea-
toria de 300 personas empadronadas muestra que el 34% votará por el candidato de Krista. Si el 40% de
los votantes en realidad está a favor de su candidato, ¿cuál es la probabilidad de que una muestra de 300
votantes indique un 34% o menos a su favor? ¿Es probable que la estimación del 40% sea correcta?

■ 5-89 Krista Engel (vea el ejercicio 5-88) se enteró de que el principal oponente de su candidato, quien tiene el
50% de los votantes empadronado a favor, perderá el apoyo de un cuarto de esos votantes debido a la ayu-
da que prestó recientemente a la tala de madera en los bosques nacionales, una política a la que se opone
el candidato de Krista.

Si el candidato de Krista tiene ahora el apoyo del 34% de los votantes registrados, y todos los votan-
tes insatisfechos con su oponente le dan apoyo a él, ¿cuál es la probabilidad de que una nueva encues-
ta entre 250 votantes indique que tiene el apoyo del 51 al 55% de los votantes?

■ 5-90 La Encuesta de Salarios Ejecutivos 1995 de The Wall Street Journal encontró los siguientes cambios por-
centuales en los salarios (salario base más bonos) pagados a los directores ejecutivos de 39 compañías in-
dustriales:

Cambio Cambio
Compañía porcentual Compañía porcentual

AMP 11.2 Owens-Corning 22.7
Allied Signal 20.0 Owens-Illinois �6.5
Armstrong 31.9 PPG Industries 5.3
Briggs & Stratton �2.9 Paccar 17.6
Browning-Ferris 29.7 Pentair 64.1
CSX 19.1 Premark �33.5
Caterpillar �0.6 Raychem 5.2
Consolidated Freight �42.3 Ryder System �34.1
Crown Cork & Seal �8.5 Sonoco Products 26.3
Deere 10.7 Stanley Works �16.9
Donnelley (R.R.) 12.4 Tecumseh Products �3.8
Dun & Bradstreet 9.7 Temple-Inland 35.6
Emerson Electric 1.3 Thomas & Betts 28.7
Engelhard 24.8 Trinova 13.1
Federal Express 8.5 Tyco 26.2
Fluor 12.5 Union Pacific 7.6
Harnischfeger 10.9 WMX Technologies 26.7
Hillenbrand 3.1 Westinghouse 47.1
Ingersoll-Rand 25.3 Yellow �0.8
Norfolk Southern 20.3

Fuente: The Wall Street Journal (11 de abril de 1996): R16.

a) ¿Qué parte de esos ejecutivos experimentaron un recorte salarial en 1995? Asumiendo que estos re-
sultados son representativos de los cambios salariales para los directores de todas las empresas indus-
triales, encuentre la posibilidad de que de seis directores elegidos al azar:

Repaso del capítulo 233

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1) Exactamente cinco sufrieran un recorte en su salario en 1995.
2) Por lo menos cinco obtuvieran aumentos en 1995.
3) Menos de cuatro obtuvieran aumentos en 1995.

b) Calcule la media y la desviación estándar para estos 39 cambios en salarios.
c) Asuma que los cambios porcentuales de 1995 en los salarios de ejecutivos de todas las empresas in-

dustriales tienen una distribución normal, y media y desviación estándar como las calculadas en el
inciso b). Encuentre las probabilidades de que un director elegido al azar haya tenido un cambio en
su paga en 1995 de:
1) Incremento de al menos 25%.
2) Incremento de menos del 5%.
3) Entre el 15% de recorte y 15% de incremento.

234 Capítulo 5 Distribuciones de probabilidad

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