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An·lisis Matem·tico I

MÛnica Clapp

Agosto-Diciembre 2005

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54 4. TEOREMAS DE EXISTENCIA

La incógnita en la ecuación (F) es una función x 2 C0[a; b]: Queremos expresar este
problema como un problema de punto �jo. Es decir, queremos encontrar una función
� : C0[a; b] ! C0[a; b] cuyos puntos �jos sean las soluciones de la ecuación (F): Para
ello, procederemos como sigue: Dada x 2 C0[a; b]; consideremos la función

bx : [a; b]! R, bx(t) := Z b
a

K(t; s)x(s)ds:

Probaremos que esta función es continua, es decir, que bx 2 C0[a; b] (véase el Lema 4.7):
Podemos entonces de�nir la función

T : C0[a; b]! C0[a; b]; T (x) := bx:
En términos de esta función, la ecuación (F) se escribe como sigue

(F) �x(t)� T (x)(t) = y(t) 8t 2 [a; b];

es decir, (F) se tranforma en la ecuación funcional

(F) �x� T (x) = y:

Si � 6= 0, o sea, si la ecuación integral de Fredholm es de segundo tipo, podemos dividir
la ecuación anterior entre � y el problema se transforma en el siguiente:

x =
1


(T (x)� y):

En consecuencia, si � 6= 0; las soluciones de (F) son justamente los puntos �jos de la
función

� : C0[a; b]! C0[a; b]; �(x) :=
1


(T (x)� y):

Probaremos que para ciertos valores de � esta función es una contracción. El teorema
de punto �jo asegura entonces que � tiene un único punto �jo, es decir, que la ecuación
(F) tiene una única solución (Teorema 4.8).
Veamos ahora los detalles de la demostración. Para probar que bx es continua reque-

rimos el siguiente lema.

Lema 4.6 Si K : [a; b] � [a; b] ! R es continua entonces, dada " > 0 existe � > 0 tal
que

jK(t1; s)�K(t2; s)j < " si jt1 � t2j < �; 8s 2 [a; b]:

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4.2. ECUACIONES INTEGRALES 55

Demostración: Supongamos lo contrario, es decir, que para alguna "0 > 0 existen
t1;k; t2;k; sk 2 [a; b] tales que

jt1;k � t2;kj <
1

k
y jK(t1;k; sk)�K(t2;k; sk)j � "0:

Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, las sucesiones (t1;k) y (sk) contienen subsuce-
siones convergentes. Para simpli�car la notación denotaremos nuevamente por (t1;k) y
(sk) a tales subsucesiones. Sean t = l��mk!1 t1;k y s = l��mk!1 sk: Entonces

l��m
k!1

jt� t2;kj � l��m
k!1

jt� t1;kj+ l��m
k!1

jt1;k � t2;kj = 0;

es decir, t = l��mk!1 t2;k: Como K es continua, se tiene entonces que

l��m
k!1

jK(t1;k; sk)�K(t2;k; sk)j = jK(t; s)�K(t; s)j = 0;

contradiciendo nuestra suposición.

Lema 4.7 Para cada x 2 C0[a; b]; la función

bx : [a; b]! R, bx(t) := Z b
a

K(t; s)x(s)ds

es continua.

Demostración: Sea " > 0: Por el lema anterior, existe � > 0 tal que

jK(t1; s)�K(t2; s)j <
"

(b� a) kxk1
si jt1 � t2j < �; 8s 2 [a; b];

donde k�k1 es la norma uniforme de�nida en (3.1). En consecuencia,

jbx(t1)� bx(t2)j � Z b
a

jK(t1; s)�K(t2; s)j jx(s)j ds

� (b� a)
"

(b� a) kxk1
kxk1 = " si jt1 � t2j < �:

Esto prueba que bx es continua.
El lema anterior asegura que la función

T : C0[a; b]! C0[a; b]; T (x) := bx;

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112 8. EXISTENCIA DE MÌNIMOS

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Bibliografía

[1] J. Dieudonné, Foundations of modern analysis, Academic Press, New York-San
Francisco-London 1969.

[2] A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Elementos de la teorÌa de funciones y del an·lisis
funcional, Editorial MIR, Moscú 1972.

[3] Marsden, Tromba,

[4] W. Rudin, Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill, Tokyo 1964.

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