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Índice general

I. INTRODUCCION 1
I.1. UNIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.1.2. Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.1.3. Longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.1.4. Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.2. ANALISIS DIMENSIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.3. FISICA, MATEMATICAS Y COMPUTACION . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.4. EL ARTE DE LAS ESTIMACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.5. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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214 CAPÍTULO V. OSCILADOR ARMONICO, ENERGIA Y CHOQUES

último caso, el empleado le comunica velocidad a su mano y se la aplica repentinamente
al hilo, éste se estira, sobrepasa su ĺımite elástico (si el impulso inicial es suficiente) y el
hilo se corta.

Ejemplo

En el sistema de poleas de la Figura, calcule el trabajo realizado al desplazar el
extremo A una distancia `. El peso de la polea C es P , y no existe roce entre ninguno
de los elementos del sistema.

Esta configuración ilustra el principio de funcionamiento de las grúas.

En este mecanismo existe una conservación del trabajo que nos conducirá al descu-
brimiento de la conservación de la enerǵıa más adelante. La enerǵıa tiene las mismas
dimensiones que el trabajo y puede adquirir distintas formas, como enerǵıa cinética
(asociada al movimiento), enerǵıa potencial (asociada a la posición), calor y otras.

Estudiemos la estática del sistema de poleas más simple: incluye sólo dos de ellas.
En esta configuración no existe roce en las poleas. La polea B está fija al techo,

mientras que C puede subir o bajar.
Analicemos el equilibrio de este sistema haciendo los diagramas de cuerpo libre rele-

vantes:

2 T = P, T =
1
2

P

F0 = T = 12 P

F0 =
1
2

P (V.15)

En resumen, para soportar el peso P sólo se necesita aplicar una fuerza F0 = P/2.
Para disminuir aún más la fuerza, basta multiplicar el número de vueltas de la cuerda
sobre las poleas. La regla para encontrar el valor de la fuerza requerida en este caso es:

F0 =
P

n
,

donde n es el número de cuerdas que resisten el peso, sin contar la cuerda donde F0
actúa directamente. El caso estudiado corresponde a n=2. En resumen, un niño puede
levantar un peso tan grande como quiera, usando el número adecuado de poleas, o el
número correcto de vueltas de la cuerda sobre un par de poleas.

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V.3. TRABAJO 215

Estudiemos este mismo problema desde el punto de vista del trabajo. Volvamos al
sistema más simple de poleas. Si están en equilibrio, un pequeño empujón desplazará el
punto A hacia abajo (por elegir una dirección).

WA = F0 ·∆xA = 12 ω0 ∆xA (Trabajo efectuado en A)

WC = P ·∆xC = ? (Trabajo efectuado en C)
¿Cómo se relaciona ∆ xC con ∆ xA ?
Se puede ver que si A baja una dis-
tancia ∆`, C sube (∆`/2), puesto
que C se ubica justo en el punto
medio de cada una de sus ramas CD
y CB y el largo de la cuerda B̂CD se
ha acortado en ∆`.

WC = P
1
2

∆xA = WA ⇒ WC = WA
(V.16)

El trabajo efectuado sobre el punto A y aquél sobre el punto C, es el mismo. Como
el desplazamiento en A es el doble, la fuerza necesaria es la mitad del peso P .

Este es un fenómeno similar a la multiplicación de fuerzas que se verifica con las
palancas. Estudiaremos este caso al introducir el torque, más adelante.

V.3.1. Cálculo del trabajo realizado por un resorte

Esta conservación del trabajo que encontramos en el ejemplo anterior no es un re-
sultado casual, es una ley de conservación que se cumple cuando no existe roce.

El caso de un resorte es más complejo porque la fuerza depende de su alargamiento.
Sin embargo, veremos a continuación que es posible resolver este problema con herra-
mientas matemáticas ya conocidas.

Ejemplo

¿Cuál es el trabajo necesario para alargar lentamente un resorte? Suponga que el
resorte descansa sobre una mesa sin roce, de manera que sólo actúa su fuerza de resti-
tución.

La ley de fuerza es F (x) = −k x, donde x indica la variación de la longitud del resorte
medida a partir de su largo natural.

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I.5. AREA ENCERRADA POR UNA CURVA 45

Figura I.15: Regla de Trapecio. Tomando un conjunto de puntos de la curva, se calcula
el área como la suma del área de los trapecios construidos uniendo los puntos mediante
rectas.

I.5.6. Regla del trapecio.

A continuación inclúımos la fórmula usada para calcular numéricamente el área bajo
una curva y = f(x) usando trapecios (en lugar de rectángulos) como unidades elementa-
les. De cualquiera de las Figuras de esta Sección, se desprende que la idea es acomodar
un trapecio bajo la curva, apoyando uno de sus catetos en el eje x y el cateto opuesto
aproxima la curva mediante una recta.

Si queremos calcular el valor del área bajo la curva entre los puntos x = a y x = b,
dividimos dicho segmento en (N − 1) segmentos mediante los puntos xn con 0 ≤ n ≤ N .
El valor de la función en cada uno de sus puntos se designa como fn ≡ f(xn), es decir
f0 ≡ f(xo) = f(a), f1 ≡ f(x1)... fN ≡ f(xN ) = f(b), donde hemos identificado x0 con a
y xn con b.

Recordemos que el área de un trapecio es la semisuma de sus bases multiplicada por
la altura. La fórmula para el área de un trapecio cualquiera dentro del tramo de interes
es:

Area del trapecio =
1
2

[fn−1 + fn] (xn − xn−1).

En este caso, el trapecio está puesto en forma vertical: la base del trapecio es cada una de

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46 CAPÍTULO I. COMPLEMENTO MATEMATICO

las verticales señaladas como f0, f1, f2,... fN , cuyo valor es el valor que toma la función
f(x) para x = 0, x = 1, x = 2...x = N respectivamente (ver Figura).

Si sumamos el área de cada uno de los trapecios de la Figura, suponiendo que todos
los trazos son iguales: [xn−xn− 1] ≡ ∆, para simplificar el álgebra, obtenemos la siguiente
expresión: ∑b

a f(x)∆ ' ∆[f0 + f1]/2+

∆[f1 + f2]/2 + ∆[f2 + f3]/2 + ...

+∆[fN− 2 + fN− 1]/2 + ∆[fN− 1 + fN ]/2.

= ∆

{
1/2 · f0 +

[
N− 1∑
i=1

fi

]
+ 1/2 · fN

}
. (I.47)

La suma
{∑b

a f(x) ∆
}

indica el valor del área encerrada entre x = a y x = b por la
función f(x).

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