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Introducción al Análisis Funcional:

Teoŕıa y Aplicaciones. Parte 1

(Versión Preliminar)

Gabriel N. Gatica

Centro de Investigación en Ingenieŕıa Matemática (CI2MA)

y Departamento de Ingenieŕıa Matemática

Universidad de Concepción

[email protected]/[email protected]

http://colo-colo.ing-mat.udec.cl/∼ggatica

Concepción, Chile, Enero 2012

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2.5. EJERCICIOS 63

y dado f ∈ X, fijo, defina el funcional lineal F : X → R como

F (u) :=
∫ 1

0
u(t) f(t) dt ∀u ∈ X .

Demuestre que F ∈ X ′ y ‖F‖ =
∫ 1

0
|f(t)| dt.

Indicación: Para cada n ∈ N considere xn ∈ X dada por xn(t) := un(f(t)) ∀ t ∈ [0, 1],
donde un : R → R es la función continua

un(t) :=




1 si t ≥ 1/n ,
−1 si t ≤ − 1/n ,
n t si − 1/n ≤ t ≤ 1/n ,

y luego use xn para probar que ‖F‖ ≥
∫ 1

0
|f(t)| dt −

1
n

.

I 2.5 Considere un abierto acotado Ω de Rn con frontera Γ suficientemente suave, y defina
el espacio

H(div ; Ω) :=
{
v ∈ [L2(Ω)]n : div v :=

n∑
i=1

∂vi
∂xi

∈ L2(Ω)
}

provisto del producto escalar

〈v, w〉H(div ;Ω) :=



v · w dx +




div v div w dx ∀ v, w ∈ H(div ; Ω) .

a) Demuestre que (H(div ; Ω); 〈·, ·〉H(div ;Ω)) es un espacio de Hilbert.

b) Pruebe que para todo g ∈ [L2(Ω)]n existe un único vg ∈ H(div ; Ω) tal que∫

vg · w dx +




div vg div w dx =



g · w dx ∀w ∈ H(div ; Ω) .

Ind.: Dada v ∈ [L2(Ω)]n, se dice que div v := z ∈ L2(Ω) si


n∑
i=1



vi
∂ϕ

∂xi
dx =



z ϕ dx ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω) .

I 2.6 Considere un abierto acotado Ω de R2 con frontera Γ suficientemente suave, y defina
el espacio

H(rot; Ω) := { v := (v1, v2) ∈ [L2(Ω)]2 : rot v :=
∂v2
∂x1


∂v1
∂x2

∈ L2(Ω) }

provisto del producto escalar

〈v, w〉H(rot;Ω) :=



v · w dx +




rot v rotw dx ∀ v, w ∈ H(rot; Ω) .

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64 CAPÍTULO 2. DUALIDAD

a) Demuestre que (H(rot; Ω); 〈·, ·〉H(rot;Ω)) es un espacio de Hilbert.

b) Pruebe que para todo g ∈ H(rot; Ω) existe un único vg ∈ H(rot; Ω) tal que∫

vg · w dx +




rot vg rotw dx =



rot g rotw dx ∀w ∈ H(rot; Ω) .

Ind.: Notar que v ∈ H(rot; Ω) śı y sólo śı (v2,− v1) ∈ H(div ; Ω). También, dada v ∈
[L2(Ω)]2, se dice que rot v := z ∈ L2(Ω) si





v2

∂ϕ

∂x1
dx+



v1

∂ϕ

∂x2
dx =



z ϕ dx ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω) .

I 2.7 Sea X un espacio vectorial sobre el cuerpo C y sea p : X → R tal que

p(αx) = |α| p(x) y p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) ∀α ∈ C , ∀x , y ∈ X .

Además, sean S un subespacio de X y f : S → C un funcional lineal tales que

|f(x)| ≤ p(x) ∀x ∈ S .

Demuestre que f puede extenderse a un funcional lineal F : X → C tal que

|F (x)| ≤ p(x) ∀x ∈ X .

I 2.8 Pruebe que todo espacio de Hilbert es estrictamente convexo.

I 2.9 Demuestre que para todo f ∈ (Hm(Ω))′ existen funciones fα ∈ L2(Ω), |α| ≤ m, tales
que

f(v) =

|α|≤m



fα ∂

α v dx ∀ v ∈ Hm(Ω) .

I 2.10 Sea X un espacio vectorial normado.

a) Sea Y un subespacio no denso de X. Demuestre que existe un funcional no nulo F ∈ X ′

tal que F (x) = 0 para todo x ∈ Y .

b) Sean x0, x1 ∈ X tal que x0 6= x1. Pruebe que existe una sucesión {Fn}n∈N ⊆ X ′ tal que
||Fn|| = ||x0 − x1||n y Fn(x1) = Fn(x0) + ||x1 − x0||n+1 para todo n ∈ N.

I 2.11 Sea (V, 〈 ·, · 〉) un espacio de Hilbert y sea J : V → R un funcional nolineal. Se dice que
J admite una derivada direccional en v ∈ V , en la dirección ϕ ∈ V , si la expresión J(v+�ϕ)−J(v)



admite un ĺımite cuando � → 0. El valor de este ĺımite se denota DJ(v, ϕ). Entonces, J se

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Bibliograf́ıa

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[2] Brenner, S.C. and Scott, L.R. , The Mathematical Theory of Finite Element

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[4] Ciarlet, P. , The Finite Element Method for Elliptic Problems. North-Holland,

1978.

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Springer Verlag New York, Inc., 1995.

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