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TitleApuntes de Geometria Diferencial de Curvas y Superficies
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Table of Contents
                            TEMA I. Representación paramétrica de curvas
	1.1 Representación paramétrica de curvas
	1.2 Representaciones paramétricas equivalentes
	1.3 Curvas paramétricas regulares
	1.4 Longitud de arco de una curva
	Parametrización natural
TEMA II. Tangente y plano osculador a una curva
	2.1 Contacto de curvas
	Determinación del orden de contacto de curvas
	Uso de parametrizaciones especiales
	Interpretación métrica de la noción de contacto
	Determinación de orden de contacto entre curvas cuando una de ellas viene dada en forma implícita
	2.2 Tangente a una curva paramétrica
	Ecuación de la recta tangente en una parametrización general
	2.3 Contacto de una curva con un plano. Plano osculador
	Ecuación del plano osculador en una parametrización general
	Una caracterización del plano osculador
TEMA III. Triedro de Frenet y Fórmulas de Frenet
	3.1 El triedro de Frenet
	3.2 Fórmulas de Frenet
	3.3 Curvatura de una curva
	3.4 Circunferencia osculatriz
	3.5 Torsión de una curva
	3.6 Posición de una curva con respecto a sus triedros de Frenet
TEMA IV. Ecuación natural de una curva
	4.1 Teorema fundamental de la teoría de curvas
	Solución general de las ecuaciones intrínsecas de una curva
	4.2 Hélice general
	4.3 Esfera osculatriz
	4.4 Curvas esféricas
	4.5 Ecuación de Riccati
TEMA V. Curvas deducidas de otras
	5.1 Evolutas de una curva
	5.2 Involutas de una curva
	5.3 Curvas paralelas
	5.4 Envolvente de curvas planas
	A) Caso de curvas dadas en forma implícita
	B) Envolventes de curvas planas dadas en forma paramétrica
	Envolvente de una familia de curvas planas dependientes de dos parámetros
TEMA VI. Representación paramétrica de superficies
	6.1 Superficie simple
	6.2 Superficies
	6.3 Plano tangente
	Plano tangente y vector normal a una superficie dada por una representación paramétrica
	Ecuación del plano tangente en coordenadas
	Plano tangente a una superficie dada en forma implícita
	6.4 Orientación de una superficie
	Relación entre orientación y parametrización
TEMA VII. Envolvente de una familia de superficies
	7.1 Envolvente de una familia uniparamétrica de superficies
	Envolvente de una familia uniparamétrica de superficies dadas en forma paramétrica
	7.2 Envolvente de una familia uniparamétrica de planos
	7.3 Envolvente de familias biparamétricas de superficies
TEMA VIII. Superficies regladas
	8.1 Superficies desarrollables
	Superficie formada por las tangentes a una curva en el espacio
	Superficies cónicas y cilíndricas
	8.2 Superficies regladas
	Parámetro de distribución
TEMA IX. Primera forma fundamental
	9.1 Tensores sobre una superficie
	9.2 Primera forma fundamental
	9.3 Longitud de una curva sobre una superficie
	9.4 Area de una superficie
TEMA X. Operador forma. Segunda forma fundamental
	10.1 Operador forma sobre una superficie
	10.2 Curvatura normal
	Interpretación geométrica de la curvatura normal
	10.3 Curvatura de Gauss y curvatura media
	Clasificación de los puntos de una superficie
	10.4 Segunda forma fundamental
	Cálculo de la curvatura de Gauss y curvatura media
	10.5 Curvas especiales sobre superficies
	Líneas de curvatura
	Líneas asintóticas
	Líneas conjugadas
	Líneas geodésicas
TEMA XI. Teorema fundamental de superficies
	11.1 Derivada covariante
	Componentes locales de la derivada covariante
	11.2 Curvatura
	11.3 Teorema fundamental de las superficies en I-R3
TEMA XII. Aplicaciones entre superficies
	12.1 Aplicaciones entre superficies
	12.2 Aplicaciones isométricas
	12.3 Isometría entre una superficie desarrollable y el plano
	12.4 Aplicaciones conformes o isogonales
	12.5 Aplicaciones isoareales
TEMA XIII. Curvatura geodésica y líneas geodésicas
	13.1 La geometría intrínseca de una superficie
	13.2 Curvatura geodésica
	13.3 Líneas geodésicas
	13.4 Coordenadas semigeodésicas
TEMA XIV. Transporte paralelo sobre una superficie
	14.1 Transporte paralelo en el sentido de Levi-Civita
	Aplicación: Determinación geométrica de campos paralelos
	14.2 Integrabilidad del transporte paralelo
	14.3 Transporte paralelo y curvatura geodésica
TEMA XV. Teorema de Gauss-Bonnet
	15.1 Versión local del teorema de Gauss-Bonnet
	15.2 Fórmula de Gauss-Bonnet generalizada
	15.3 La curvatura integral
	15.4 La característica de Euler-Poincaré
APÉNDICE. Nociones de algebra lineal y análisis
	A.1 Estructuras en I-Rn
	A.2 Aplicaciones diferenciables
	A.3 Espacio de vectores tangentes en un punto de I-Rn
	A.4 Derivadas direccionales
	A.5 Campos de vectores en I-Rn
	A.6 Aplicaciones inducidas
	A.7 Derivada covariante en I-Rn
	A.8 Identidades vectoriales en I-R3
	A.9 Tensores sobre un espacio vectorial
	Cambio de base
	Multiplicación de tensores covariantes
	Tensores covariantes simétricos y antisimétricos
	Producto simétrico y exterior
E J E R C I C I O S.
B I B L I O G R A F Í A.
ÍNDICE ALFABÉTICO.
                        
Document Text Contents
Page 1

Apuntes

de

Geometŕıa Diferencial

de

Curvas y Superficies

Angel Montesdeoca

La Laguna, 2004

Page 2

Contenido

TEMA I. Representación paramétrica de curvas 1

1.1 Representación paramétrica de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Representaciones paramétricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Curvas paramétricas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Longitud de arco de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Parametrización natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

TEMA II. Tangente y plano osculador a una curva 11

2.1 Contacto de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Determinación del orden de contacto de curvas . . . . . . . . . . 13
Uso de parametrizaciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Interpretación métrica de la noción de contacto . . . . . . . . . 18
Determinación de orden de contacto entre curvas cuando una de

ellas viene dada en forma impĺıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Tangente a una curva paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Ecuación de la recta tangente en una parametrización general . 23
2.3 Contacto de una curva con un plano. Plano osculador . . . . . . . . 24

Ecuación del plano osculador en una parametrización general . . 26
Una caracterización del plano osculador . . . . . . . . . . . . . . 26

TEMA III. Triedro de Frenet y Fórmulas de Frenet 29

3.1 El triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Fórmulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Curvatura de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Circunferencia osculatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Torsión de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Posición de una curva con respecto a sus triedros de Frenet . . . . . 36

TEMA IV. Ecuación natural de una curva 39

4.1 Teorema fundamental de la teoŕıa de curvas . . . . . . . . . . . . . . 39
Solución general de las ecuaciones intŕınsecas de una curva . . . 41

4.2 Hélice general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Esfera osculatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Curvas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.5 Ecuación de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

TEMA V. Curvas deducidas de otras 51

5.1 Evolutas de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Involutas de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3 Curvas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

i

Page 108

102 TEMA IX. Primera forma fundamental

El producto escalar de dos vectores tangentes ~a =
2∑

i=1

ai~xi y ~b =
2∑

i=1

bi~xi, en un

mismo punto, es igual a

~a · ~b =
(

2∑

i=1

ai~xi

)
·
(

2∑

i=1

bj~xj

)
=

2∑

i,j=1

aibj~xi · ~xj =
2∑

i,j=1

gija
ibj .

Si θ es el ángulo entre dos vectores ~a y ~b obtenemos:

cos θ =
~a · ~b

‖~a‖ ‖~b‖
=

2∑

i,j=1

gija
ibj

√√√√
2∑

i,j=1

gija
iaj

√√√√
2∑

i,j=1

gijb
ibj

Consideremos dos curvas de clase C1,

u1 = φ1(t), u2 = φ2(t); u1 = ψ1(t), u2 = ψ2(t)

en una superficie, que pasan por un punto P0 de coordenadas ui0 = φ
i(t0) =

ψi(t0), (i = 1, 2). Sus representaciones paramétricas serán:
−→α : I → IR3 , ~α(t) = ~x(φ1(t), φ2(t)); −→β : J → IR3 , ~β(t) = ~x(ψ1(t), ψ2(t)).
El ángulo θ que forman estas dos curvas en el punto común P0 es el que forman

sus vectores tangentes en P0:

~α ′(t) =
dφ1

dt
~x1 +

dφ2

dt
~x2; ~β

′(t) =
dψ1

dt
~x1 +

dψ2

dt
~x2

cos θ=

2∑

i,j=1

gij
dφi

dt

dψj

dt
√√√√

2∑

i,j=1

gij
dφi

dt

dφj

dt

√√√√
2∑

i,j=1

gij
dψi

dt

dψj

dt

,

sen θ=±


g11g22 − g12
(

dφ1

dt

dψ2

dt
− dφ

2

dt

dψ1

dt

)

√√√√
2∑

i,j=1

gij
dφi

dt

dφj

dt

√√√√
2∑

i,j=1

gij
dψi

dt

dψj

dt

.

Obsérvese que si bien para el cos θ no hay ambigüedad en la elección el signo, si la
hay para el sen θ.

En particular, si consideramos como tales curvas las curvas coordenadas dadas
por u2 = cte. y u1 = cte. respectivamente, se tendrá:

dφ1

dt
= 1,

dφ2

dt
= 0;

dψ1

dt
= 0,

dψ2

dt
= 1,

Geometŕıa Diferencial. Angel Montesdeoca. 2004

Page 109

9.4 Area de una superficie 103

de donde, el ángulo entre ellas viene dado por

cos θ =
g12√
g11g22

,

lo que implica que las curvas coordenadas son ortogonales si y sólo si g12 = 0. En
este caso las coordenadas curviĺıneas se dice que son ortogonales y la primera forma
fundamental se escribe:

I = g11(du
1)2 + g22(du

2)2.

9.4 Area de una superficie

Para determinar el área de un dominio D de una superficie M correspondiente
a la imagen de un rectángulo R en el plano de parámetros u1, u2, mediante la
representación paramétrica ~x = ~x(u1, u2), hagamos una partición de dicho dominio
D en un número finito de cuadriláteros utilizando las curvas

u1 = u10, u
1 = u11, . . . , u

1 = u1n u
2 = u20, u

2 = u21, . . . , u
2 = u2m.

A continuación, reemplazaremos cada cuadrilátero ABCD acotado por las curvas

u1 = u1λ−1, u
1 = u1λ u

2 = u2µ−1, u
2 = u2µ

por el paralelogramo rectiĺıneo en el plano tangente a la superficie en A(u1λ−1, u
2
µ−1),

determinado por los vectores

(u1λ − u1λ−1)~x1(u1λ−1, u2µ−1) y (u2µ − u2µ−1)~x2(u1λ−1, u2µ−1),

A

B

C
D

que son ambos tangentes a los la-
dos del cuadrilátero curviĺıneo y
los aproximan en longitud y di-
rección. Aśı aproximamos cada
celda de la división original por un
paralelogramo. El área de cada uno
de estos paralelogramos es:

‖(u1λ − u1λ−1)~x1(u1λ−1, u2µ−1)× (u2µ − u2µ−1)~x2(u1λ−1, u2µ−1)‖ =
= (u1λ − u1λ−1)(u2µ − u2µ−1)‖~x1(u1λ−1, u2µ−1)× ~x2(u1λ−1, u2µ−1)‖ =
= (u1λ − u1λ−1)(u2µ − u2µ−1)


g(u1λ−1, u

2
µ−1).

Si hacemos ahora la suma de las áreas de todos los paralelogramos obtenemos
n∑

λ=1

m∑
µ=1


g(u1λ−1, u

2
µ−1)(u

1
λ − u1λ−1)(u2µ − u2µ−1),

Geometŕıa Diferencial. Angel Montesdeoca. 2004

Page 215

209

— normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
— osculador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24, 28
— osculador (ecuación) . . . . . . . . . . . . . . . . . 24, 26
— rectificante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
— tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

posición relativa de una curva con respecto al
triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . .99, 127
producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
— escalar de dos vectores tangentes . . . . . . . 102
— exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
— interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171
— mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
— simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
— tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
— triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

proyección sobre el plano normal . . . . . . . . . . . . 37
— sobre el plano osculador . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
— sobre el plano rectificante . . . . . . . . . . . . . . . 37

pseudoesfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
punto central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
— de estricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
— de inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
— de retroceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
— eĺıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
— hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
— parabólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114
— plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
— singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6, 10
— singular esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
— umbilical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

radio de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 34
— de la esfera osculatriz . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 47

recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
— binormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
— normal a la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73
— normal principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
— polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

referencia de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123
— invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

representación paramétrica de una curva . . . . . 3
— paramétrica de una superficie . . . . . . . . . . . .65

representaciones paramétricas equivalentes . . . .5
— paramétricas opuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

sección normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . 115
silla de montar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96, 109
— de montar de mono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

simetrización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182
superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
— ciĺındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
— cónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82, 91
— ciĺındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

— de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71, 104
— de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
— de una sola cara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
— desarrollable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87, 92
— llana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
— minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
— no orientable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
— orientable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
— reglada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
— simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
— simple de clase Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
— simple regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
— tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82, 88

superficies isométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
— localmente isométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

śımbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
— de Christoffel de primera especie . . . . . . . 126
— de Christoffel de segunda especie . . . . . . . 125

tangente (ecuación) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
— a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178
— contravariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180
— covariante antisimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . 181
— covariante simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

tensores de tipo (01) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
— de tipo (rs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

teorema de Gauss–Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
— de Meusnier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
— egregium de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
— fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 130

tercera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
topoloǵıa relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
topoloǵıa intŕınseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 36
— geodésica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198

transformación de Combescure . . . . . . . . . . . . . . 64
— de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

transporte paralelo de Levi-Civita . . . . . . . . . . 150
— paralelo integrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

triángulo geodésico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30, 50
vértices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
valores propios del operador forma . . . . . . . . . 111
vector binormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
— curvatura geodésica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
— curvatura normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142
— de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
— normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
— normal principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
— tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30, 73

vectores principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
— propios del operador forma . . . . . . . . . . . . . 111

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