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TitleCálculo de Elementos Estructurales
TagsMechanics Mechanical Engineering Mathematical Objects Stiffness
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Table of Contents
                            Prefacio
Índice
1 Método matricial de la rigidez
	1.1. Estructuras hiperestáticas
	1.2. Fundamentos del método matricial
	1.3. Matrices de rigidez elementales
		1.3.1. Rigideces de una barra elástica
		1.3.2. Matriz de rigidez de una barra recta (caso 2D)
		1.3.3. Matriz de rigidez de una barra recta (caso 3D)
		1.3.4. Matriz de rigidez de barras curvas
		1.3.5. Matriz de rigidez de barras de sección variable
		1.3.6. Matriz de rigidez de barras con nudos articulados
	1.4. Fuerzas nodales equivalentes
		1.4.1. Cargas puntuales
		1.4.2. Cargas continuas rectangulares
		1.4.3. Cargas continuas triangulares
	1.5. Matrices de rigidez global
		1.5.1. Ensamblaje (caso sin cambio de base)
		1.5.2. Ensamblaje (caso con cambio de base)
		1.5.3. Matriz de rigidez global de equilibrio
		1.5.4. Simetría de la matriz y orden de aplicación de las cargas
		1.5.5. Ejemplos convencionales
	1.6. Cálculo no lineal de estructuras
		1.6.1. Rigidez reducida de un soporte por flexión
		1.6.2. Planteamiento del problema para estructuras no lineales
2 No-linealidad geométrica (pandeo, inestabilidad elástica)
	2.1. Curvatura bajo cargas axiales. Ecuación de la elástica y forma curva
	2.2. Cálculo de cargas críticas
		2.2.1. Barra biarticulada
		2.2.2. Barra empotrada por un extremo y libre en el otro
		2.2.3. Barra biempotrada
		2.2.4. Barra empotrada-articulada
		2.2.5. Barra elástica en el caso general
		2.2.6. Piezas de sección no constante
		2.2.7. Longitud de pandeo en normas: MV-103, EA, CTE y Eurocódigo
	2.3. Cálculo de tensiones según el Eurocódigo y el CTE
		2.3.1. Cálculo del pandeo flexional
		2.3.2. Cálculo del pandeo torsional o lateral
	2.4. Fórmula de Engesser
	2.5. Pandeo lateral y abolladura
		2.5.1. Pandeo en perfiles abiertos de pared delgada
		2.5.2. Inestabilidad local y abolladura
		2.5.3. Pandeo local y abolladura en perfiles
	2.6. Cálculo no lineal de estructuras
		2.6.1. Rigidez reducida de un soporte por flexión
		2.6.2. Planteamiento del problema para estructuras no lineales
	2.7. No linealidad geométrica global: pandeo global de cúpulas y arcos
		2.7.1. Un modelo simple con pandeo global
3 Placas, láminas y membranas
	3.1. Definiciones
	3.2. Métodos de cálculo para placas delgadas
	3.3. Métodos clásicos
		3.3.1. Método de Kirchhoff
		3.3.2. Método de las diferencias finitas
	3.4. Predimensionado por el método de Marcus
	3.5. Soluciones analíticas para placas circulares
		3.5.1. Placa simplemente apoyada y uniformemente cargada
		3.5.2. Placa simplemente apoyada cargada en el centro
		3.5.3. Placa simplemente apoyada y cargada puntual en el centro
	3.6. Membranas y paredes de depósitos
		3.6.1. Depósitos de gas bajo presión uniforme
		3.6.2. Depósitos para líquidos
	3.7. Teoría general de láminas
4 Cimentaciones basales superficiales y profundas
	4.1. Introducción
		4.1.1. Tipos básicos de cimentación
		4.1.2. Mecanismo de fallo
		4.1.3. Datos del terreno necesarios para la cimentación
		4.1.4. Capacidad portante del terreno
	4.2. Cálculo de zapatas aisladas
		4.2.1. Zapatas rígidas (ZR)
		4.2.2. Zapatas flexibles (ZF)
		4.2.3. Zapatas de Hormigón en Masa (ZHM)
	4.3. Comprobaciones adicionales en zapatas aisladas
		4.3.1. Comprobación del vuelco y el deslizamiento
		4.3.2. Comprobación del punzonamiento
		4.3.3. Comprobación del cortante
	4.4. Cálculo de zapatas corridas
		4.4.1. Zapatas corridas bajo cargas centradas e idénticas
	4.5. Cálculo de losas
		4.5.1. Método de los rectángulos
	4.6. Cálculo de pilotajes
		4.6.1. Cálculo del pilotaje
		4.6.2. Cálculo del pilote
		4.6.3. Cálculo de encepados
	4.7. Cálculo de bases de unión pilar-cimentación
		4.7.1. Cálculo de uniones pilar-cimentación
		4.7.2. Comprobación de la compresión en el hormigón
		4.7.3. Comprobación de la placa de apoyo
		4.7.4. Comprobación de los pernos
5 Cimentaciones extendidas y estructuras de contención
	5.1. Definiciones
	5.2. Tipos de estructuras de contención
	5.3. El empuje del terreno
	5.4. Empuje activo
		5.4.1. Teoría de Coulomb para suelos granulares
		5.4.2. Cálculo del empuje activo utilizando la teoría de Rankine
		5.4.3. Presencia de agua en el terreno. Influencia del nivel freático
	5.5. Empuje pasivo
	5.6. Proyecto y construcción de estructuras de contención rígidas
		5.6.1. Formas de agotamiento
		5.6.2. Seguridad
	5.7. Estructuras flexibles
		5.7.1. Cálculo de estructuras flexibles (pantallas)
6 Diseño sísmico de estructuras
	6.1. Definiciones
	6.2. Análisis modal de edificios de cortante
		6.2.1. Estructuras elásticas y ecuaciones de movimiento
		6.2.2. Análisis modal: modos de vibración propios y frecuencias naturales
	6.3. Espectros de respuesta del terreno y respuestas máximas modales
		6.3.1. Pseudo-espectros y espectros de diseño
		6.3.2. Respuestas máximas modales
	6.4. Aplicación de la norma NCSE-02
		6.4.1. Determinación de la aceleración espectral
		6.4.2. Tablas resumen de la norma sismorresistente
	6.5. Edificios de torsión y cortante y efectos de segundo orden
	6.6. Recomendaciones constructivas
7 Apéndice I.Ecuación de la curva elástica
	A.1. Deducción de la ecuación de la curva elástica
	A.2. Resolución de la curva elástica
	A.3. Inestabilidad elástica
8 Bibliografía
	8.1. Artículos
	8.2. Normas
	8.3. Bibliografía convencional
9 Índice analítico
                        
Document Text Contents
Page 1

ENGINYERIES
INDUSTRIALS

Cálculo de elementos estructurales

UPCGRAU

David Sánchez Molina
Ramón González Drigo

Page 106

Cálculo de elementos estructurales


106

Puesto que la serie en [3.10] es rápidamente decreciente, a medida que aumentan m y n
bastará simplemente con calcular unos pocos términos para obtener una aproximación
suficiente:


2 2 2

0
max 6 2 2 2

0
6

1 1 1 1 1 9 1 9 1
...

1 4 2,25 3 4 2,25 3 4 2,2516
...

1 9 9 1 1 25 1 25 1
...

9 4 2,25 5 4 2,25 5 4 2,25
16

... 2,0736 0,0185 0,0459 0,0028 0,0015 0,

− − −

− − −

      
+ − + − + +      

      = = π       + + + + + +            

= − − + + +
π

q
w

D

q
D

[ ] 6
16

0045 2,0181= ⋅
π

q
D




El valor exacto es, de hecho, wmax = 16q0/π

6D · 2,0164 m4 = 66,31 [kp·m2]/D por lo que
el error tomando sólo seis términos es del 0,08 %.

Ejemplo numérico 2
Dimensionar la placa simplemente apoyada del ejemplo anterior de 2,00×1,50 [m] con
la carga uniforme de 200 kg/m2, también del ejemplo anterior, considerando que está
hecha de acero [Es= 2,1·10

6 kg/cm2y σadm= 2400 kp/cm
2].


En primer lugar, debemos calcular los esfuerzos. Los máximos momentos flectores se
dan precisamente en el centro de la placa y vienen dados por:




( )

( )

21 2 2 2 22
0

,max 4 2 2 2 2
1,3,5... 1,3,5,...

21 2 2 2 22
0

,max 4 2 2 2 2
1,3, 1,3,5,...

116

116

+ −+∞ ∞

= =

+ −+∞

= =

    −  
= + ν +         π        

    −  
= ν + +         π        

∑ ∑



m n

x
m n x y x y

m n

y
m n x y x y

q m n m n
m

mn L L L L

q m n m n
m

mn L L L L5,...





[3.13]


En cambio, el momento torsor máximo se da en las esquinas de la placa (x = Lx, y = Ly)
y su valor en máximo en ese punto es:



( )

2
2 2

0
,max 4 2 2

1,3,5,... 1,3,5,...

116


∞ ∞

= =

 − ν
= +  π  

∑ ∑xy
m nx y x y

q m n
m

L L L L
[3.14]


Los valores de los momentos, tomando respectivamente los seis primeros términos, los
diez primeros términos y el valor exacto, son respectivamente:



Seis términos [m2]
Diez términos
[m2]

Valor exacto
[m2]

mx,max·(π4/16q0)
0,6596
[102,0 %]

0,6405
[99,0 %] 0,6470

my,max·(π4/16q0)
0,9692
[101,2 %]

0,9518
[99,4 %] 0,9577

mxy,max·(π4/16q0)
0,5806
[97,5 %]

0,5864
[98,5 %] 0,5954

Page 107

Placas, láminas y membranas

107

A partir de estos momentos flectores, procedemos a calcular las tensiones mediante la
fórmula de Navier. La tensión máxima se da en el centro de la placa. Atendiendo al
criterio de tensión máxima de Rankine y al valor de la tensión admisible σadm = 2400
kp/cm2, el espesor mínimo resulta ser:


( ) 2
max 3 4 2 2

2 2

max , 16 kp 1
·200 0,9577 m

212 6 m
kp 188,8 kp

2400 0,28 cm
cm

σ ≥ σ ≈ = ⋅ ⇒
π

≥ ⇒ =

x y
adm

m m h
h h

h
h




El criterio de la máxima energía de distorsión es más adecuado para materiales
dúctiles, aunque en este caso no resulta más desfavorable que el criterio de Rankine:


2
0

3 4 2

202
0 4 2

3 4 2

16 6 0,6470 m
212

16 6
0,8463 m16 6 0,9577 m

212
0,26 cm

0

⋅
σ ≈ = ⋅ π 

 σ = ≤ σ ⇒⋅  
σ ≈ = ⋅ ⇒ π 

π   ≥σ ≈



x
xx

y co adm
yy

xy

m qh
h h

qm qh
h

h h h


Adoptaremos h = 0,30 cm y calcularemos la flecha vertical según las ecuaciones del
ejemplo numérico 1:


( )
3 6 2 3

2

2
2

max 6

2,1 10 kp cm 0,027 cm
5080,6 kp cm

12 0,9312 1

16 6452 kp m
2,0164 m 0,13 m

961,4·50,80 kp m

−⋅ ⋅ ⋅
= = = ⋅

⋅− ν


= ⋅ = =

⋅π

Eh
D

q
w

D




Para lograr wmax<L/250 se requiere h> 0,76 cm.

Ejemplo numérico 3
Dimensionar la altura de una placa simplemente apoyada como la del ejemplo anterior,
considerando que está fabricada con TRAMEX® con láminas de espesor 2mm separadas
cada 18 mm[Es= 2,1·10

6 kg/cm2 y σadm = 2400 kp/cm
2].


a)Criterio de resistencia. El momento máximo no cambia, pero tenemos que recalcular
el momento resistente por unidad de ancho. En b = 1000 mm de ancho tenemos 50
láminas, donde el número de láminas n, el momento de inercia y el momento resistente
por unidad de ancho vienen dados por:



( )

3

2 23

1000 mm
50

18 2 mm 12

0,10
2 6 612

= = = =
+ +

   = = == =      

L L
L

L L

b L L LL L L
bb

b e hn Is e
I e h hI e h w nI n

h bb b

[3.15]

Page 211

Apéndices

211











9 Índice analítico








abolladura, 72, 80, 82, 85, 121
alabeo, 15, 21, 22, 26, 34, 36, 39, 78,

79, 95
amortiguamiento modal, 187
anclaje de armaduras, 138
arco, 13, 26
área reducida de cortante, 18
asentamiento diferencial, 126, 128,

138
cambio de base, 34, 36, 37, 54
capacidad portante, 128
carga crítica

de Euler, 60, 70
coeficiente de balasto, 126, 127, 143,

144, 148
coeficiente de empotramiento, 66, 67,

70, 71, 75
coeficiente de participación modal,

187, 194, 195
cohesividad, 127
CTE, 53, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77,

78, 95, 96, 209
curva elástica, 13, 16, 17, 18, 59, 60,

63, 68, 203
daño producido, 182
ecuación de compatibilidad, 16
efectos de segundo orden, 58
elasticidad

material elástico lineal, 57
empuje

activo, 163, 165, 166, 167, 168, 169,
170, 171

coeficiente de, 165, 168, 170
pasivo, 164, 165, 171, 174, 176, 178

ensamblaje, 13, 34
equivalencia estática, 29
esbeltez, 72

cálculo de la, 73
límite, 73
natural, 21, 62, 79, 95
reducida, 73, 76, 77
torsional, 77

espectro de respuesta, 189
estructura

de barras, 13, 36
definición, 11
hiperestática, 12
traslacional, 75

fibra neutra, 203, 205
fórmula de Collignon, 76
fórmula de Navier, 76, 107
frecuencia

fundamental, 186, 198
propia, 186, 187, 188, 191, 192, 197

fuerzas nodales equivalentes, 30, 32,
183

grados de libertad, 11, 12, 53, 145,
148, 184, 185, 195, 197, 199

hipótesis de Love-Kirchhoff, 101
hipótesis de Mindlin-Reissner, 101

Page 212

Cálculo de elementos estructurales


212


hundimiento, 126, 127, 128, 138, 147,
148, 149, 150, 152, 157

inestabilidad elástica, 58, 93, 154, 206
instraslacional, 66
integral de Duhamel, 189, 199
integral elíptica, 60
interal elíptica, 206
Lagrange

desarrollo de Schneider-Lagrange,
61

ecuación de, 101
matriz de amortiguamiento, 183, 185
matriz de masa, 183, 184, 185, 187,

196, 197
matriz de rigidez

elemental, 13, 14, 18, 22, 142, 146
global, 13, 33, 34, 35, 36, 52, 88,

184
método de Kirchhoff, 104
método de Marcus, 101, 114, 115, 117,

122
método omega, 62, 95
movimiento de sólido rígido, 38, 39
multiplicidad

de autovalres, 38
nudo

articulado, 12, 28, 93
rígido, 14, 28, 71

pandeo
carga crítica, de, 54, 58, 60, 61, 64,

65, 66, 69, 78, 79, 82, 206

longitud, de, 64, 66, 70, 75, 79, 150
peligrosidad sísmica, 181, 182
placas

circulares, 117
predimensionando, 62
punzonamiento, 137, 138, 139, 142
riesgo sísmico, 182
rigidez

axial, 14, 15, 50, 85, 86, 89
cortante (frente a), 16
cortante-flexión, 18
flexional, 15
flexional de placas, 108, 119
torsional, 22

rigidizador, 80, 83
snap through, 93
teoremas de Mohr, 13, 18
teoría de Navier-Bernouilli, 13, 19,

203
terreno cohesivo, 127
torsión, 13, 14, 22, 23, 24, 26, 76, 78,

79, 95, 100, 195, 197, 198
alabeada pura, 25
Saint-Venant pura, de, 13, 22, 26

valor propio, 38
vuelco, 126, 138, 139, 140

coeficiente al, 140
momento de, 140

zapata
flexible, 130, 135, 140
rígida, 150

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