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TitleCapitulo 8.-Analisis Matricial de Estructuras Reticuladas
TagsMotion (Physics) Physics & Mathematics Stiffness Stress (Mechanics) Matrix (Mathematics)
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8.- MÉTODOS GENERALES:
ANÁLISIS MATRICIAL

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Los puntos en los que confluyen las barras han de ser,
razonablemente, nodos del modelo (figura 8.24) que se utilizará en el
análisis, aunque podrían seleccionarse como nodos del modelo otros
puntos de la estructura. En dicha figura se han numerado, también, las
barras (rodeados sus números por un círculo)


De cada uno de estos nodos se obtendrán, como resultado del
análisis, algunos de sus movimientos y de estos movimientos se
obtendrán, a su vez, los esfuerzos en los elementos de la estructura.






Figura 8.24

8.3.5 Elección y numeración de grados de libertad.-

En el caso de estructuras planas, cada nodo tiene tres grados de
libertad (g.d.l.) (dos desplazamientos y un giro); aunque las condiciones
de apoyo de la estructura impiden los movimientos de los nodos 1, 2 y
3, inicialmente se eligen los tres grados de libertad de todos y cada uno
de los nodos (figura 8.25). No habiendo, en principio, criterios
especiales de numeración, en la figura se muestran los números
asignados a los 24 g.d.l. Con flechas de puntos se identifican los g.d.l.
restringidos por el sistema de apoyos.










6

8

1 2 3

4 5 6

7 8

31

5

4 7

2

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Figura 8.25


8.3.6 Matriz de rigidez de la estructura

El proceso a seguir consiste en plantear, en primer lugar, la matriz de
rigidez de una barra (primero en ejes locales de la barra y, luego, en ejes
globales de la estructura) y después mediante un proceso sistemático
denominado “ensamblaje”, montar la matriz de rigidez de la estructura
completa.

8.3.6.1 Matriz de rigidez de una barra en ejes locales.-

Barra empotrada.-


Sea la barra de la figura 8.26 que va del nudo inicial i (en lo que

sigue, al nudo inicial de la barra le denominaremos 1) y al nudo final j
(numerado como 2 en lo que sigue). No hay que confundir esta
numeración (nudos 1 y 2) que emplearemos en ejes locales con la
numeración de nudos global que, previamente, se ha realizado en toda
la estructura.












1

2

3

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11

12

19

20

21 22

23

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17

18

7

8

9 4

5

6

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u3 4.16

v3 2.06
{dc}= = PL/EA
u4 3.84

v4 -1.95

u1 9.69

v1 2.67
{db}= = PL/EA
u2 9.31

v2 -2.33


8.3.15 Modificación de la rigidez de la estructura.-

Si como resultado del estudio de los resultados del análisis se
considerase necesario modificar las características de algún elemento
estructural o de los materiales con los que van a ser fabricados o
introducir cualquier otra modificación sobre la matriz de rigidez de la
estructura, puede simularse esta modificación sin necesidad de repetir
el proceso de resolución del sistema de ecuaciones.


El sistema de ecuaciones "modificado" sería

{f} = ([K] + [K']){d}

donde [K´] es una matriz que incluye las modificaciones a la matriz [K].


La expresión anterior puede escribirse como

{f} = [K](I + [K]-1[K']){d}

y, por tanto,

{d} = (I + [K]-1[K'])-1 [K]-1 {f}


El factor [K]-1 {f} coincide con el vector {d}0 de movimientos en la
estructura antes de la modificación (vector del que se dispone como
resultado del previo análisis)

{d} = (I + [K]-1[K'])-1 {d}0


Por lo tanto el vector de movimientos del sistema "modificado"

puede obtenerse a partir del vector {d}0 y de las matrices [K] y [K´]. Esta
última matriz es tratable de forma eficiente pues estará (si las

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"modificaciones" no afectan a demasiados nodos) mayoritariamente
formada por ceros; así, podrá ser razonablemente ordenada agrupando
los g.d.l. afectados.

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