Download Matematika feladatgyűjtemény PDF

TitleMatematika feladatgyűjtemény
File Size4.6 MB
Total Pages27
Document Text Contents
Page 1

M
a
te

m
a
ti

k
a

fe
la

d
a
tg

y
û
jt

e
m

é
n
y

I.

9 7 8 9 6 3 1 9 7 4 9 6 6

Raktári szám: 13135/NAT

ISBN 978-963-19-7496-6

Page 2

Bartha Gábor–Bogdán Zoltán–Csúri József–
Duró Lajosné dr.–dr. Gyapjas Ferencné–
dr. Kántor Sándorné–dr. Pintér Lajosné

Matematika
feladatgyűjtemény

I.
a középiskolák tanulói számára

Nemzedékek Tudása Tankönyvkiadó, Budapest

13135-1_Matematika FGY_Book.indb 113135-1_Matematika FGY_Book.indb 1 2013.11.21. 10:55:162013.11.21. 10:55:16

Page 13

MathMagic Equation EPS


I.

13

5. Vizsgáljuk meg, hogy a következő állítások közül melyek
igazak:
1. 2 ! {a prímszámok}.
2. A négyzet eleme a trapézok halmazának.
3. 240, 240 - 1 és 240 + 1 eleme az összetett számok halmazának.
4. Ha a ! A és b ! B, akkor (a ! b) ! B, ahol A a prímszámok
halmaza, B az összetett számok halmaza.
5. A ! A.
6. A ! {A}.
7. Az xn - 1 = 0 egyenlet valós gyökei elemei a pozitív egész szá-
mok halmazának, tetszőleges n egész szám esetén.
8. ,1 9o ! {a 2-hatványok}.
9. Ha a ! A és A ! B, akkor a ! B.
10. A = B esetén A ! {B}.

6. Jelölje N, P, Z, Q, I, R rendre a természetes számok, a prím-
számok, az egész számok, a racionális számok, az irracionális szá-
mok, a valós számok halmazát. Döntsük el, hogy a következő állítá-
sok közül melyik igaz:
1. Ha a ! N és b ! N, akkor (a + b) ! N.
2. Ha a ! P és b ! P, akkor (a + b) ! P.
3. Ha a ! Z és b ! Z, akkor ab ! Z.
4. Ha a ! Z és b ! Q, akkor ab ! Z.
5. Van olyan a és b szám, hogy a ! Z és b ! Q esetén ab ! Z.
6. Ha a ! Q és b ! I, akkor (a - b) ! I.
7. Ha a ! Q és b ! R, akkor ab ! I.
8. Van olyan a és b, hogy a ! Q és b ! I esetén ab ! N.
9.

b
a ! R, ha a ! R és b ! R.

10. a ! Z, b ! Q esetén
b

a

1
2

2

+
! Q.

7. Legyen a ! X és b ! X. Vizsgáljuk meg, hogy mely esetekben
igazak a következő állítások:
1. (a + b) ! X. 2. (a - b) ! X. 3. ab ! X.
4.

b
a ! X, ha b ! 0, ahol X helyébe rendre az előző feladatban sze-

13135-1_Matematika FGY_Book.indb 1313135-1_Matematika FGY_Book.indb 13 2013.11.21. 10:55:532013.11.21. 10:55:53

Page 14

MathMagic Equation EPS


14

replő N, P, Z, Q, I, R halmazokat helyettesítjük és a, illetve b az X
halmaz tetszőleges eleme lehet.

8. Jelölje az A halmaz elemeinek számát A . Határozzuk meg
A értékét a következő esetekben:

1. A = {a 20-nál kisebb prímszámok};
2. A = {36 pozitív osztói};
3. A = {a 100-nál kisebb négyzetszámok};
4. A = {az x2 1 100x egyenlőtlenség egész gyökei};
5. A = {az x2 + x + 2 = 0 egyenlet valós gyökei};
6. A = {4, 2};
7. A = {a legkisebb egész szám};
8. A = {a legkisebb természetes szám};
9. A = {114 különböző számjegyei};
10. A = {a 102 1 x3 1 104 egyenlőtlenségrendszer egész gyökei}.

9. Az a és b egymástól különböző egész szám, eleme az A hal-
maznak. Tudjuk, hogy A-nak eleme bármely két különböző elemé-
nek összege is. Határozzuk meg A értékét, ha az A halmaz véges és
minden eleme egész szám.

10. Soroljuk fel a következő halmazok közül azokat, amelyeknek
végtelen sok elemük van:
A = {a prímszámok}; B = {egy sík félsíkjai};
C = {egy sokszög csúcsai}; D = {a páros prímszámok};

E = {az xx x11 1
2

+
-

= - egyenlet valós gyökei};
F = {azok az x egész számok, amelyekre xx 100+ is egész szám};
G = {csak az 1 számjegyet tartalmazó számok};
H = {azok a számok, amelyek számjegyeinek összege 2};
I = {a természetes számok számjegyei};
J = {a valós számok halmaza}.

11. Az A halmaznak eleme az 1 és -1. A halmaz bármely két
elemének számtani közepe is eleme a halmaznak. Bizonyítsuk be,
hogy az A halmaznak végtelen sok eleme van.

12. Egy véges számhalmaz bármely elemének a reciproka is eleme

13135-1_Matematika FGY_Book.indb 1413135-1_Matematika FGY_Book.indb 14 2013.11.21. 10:55:532013.11.21. 10:55:53

Page 26

MathMagic Equation EPS


422

,minA B A B+ E ^ h! 47. 10. 48. 2, 6, 14, 26. 49. Lásd a
61. ábrát! Az ábrán 7 halmazt láthatunk megszámozva, míg a nyol-
cadik halmaz az üres halmaz: A B C+ + 4= . 50. Számoljuk le,
hogy egy újabb téglalap felvétele hány új tartományt eredményez-
het. 51. Rajzoljunk ábrát!
52. Lásd a 62. ábrát! 53. A B C C+ + = , A B C+ + a 6k + 2 és

7
A

B

C

6

6

2

1

2

5

4 3 3 4

5

5 5



D

C

B
A

61. ábra 62. ábra

6k + 4 alakú számok halmazának uniója, A B C+ + a 6k + 3 alakú
számok halmaza, A B C+ + a 6k + 1, illetve 6k + 5 alakú számok
halmazának uniója, ahol k tetszőleges természetes szám.
54. \A B a körgyűrű pontjaiból áll, \B A 4= . 55. 1. \A B =

k n6 2 6 4,= + +" ", ,; 2. \B A k6 3= +" ,; 3. \A C k4 2= +" ,;
4. \C A 4= ; 5. 4 ; 6. az olyan 5k alakú számok halmaza, ahol k4C ;
7. az 5-re végződő számok halmaza; 8. az olyan 5k alakú számok hal-
maza, ahol 4)k és 3)k, ahol k tetszőleges természetes szám; 9. 4 ;
10. \E D , vagyis azon egészek halmaza, amelyek 6-tal oszthatóak,
de 5-tel nem. 56. Rajzoljuk le külön-külön az egyes eseteket.
57. Használjuk a műveletek defi nícióit! 58. Ha az A, B, C hal-
mazok páronként diszjunktak. 59. ; , ; , ; ,A B 0 0 0 1 0 2# = ^ ^ ^h h h"

; , ; , ; , ; , ; , ;1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 2 2^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h, . 60. 64. 61. A B# a
(-1; -1), (1; -1), (1; 1), (-1; 1) csúcspontokkal rendelkező négy-
zetlap pontjainak halmaza. 62. 9. 63. A A# , illetve 4 .
64. Igazoljunk indirekt módon. 65. Bizonyítsunk a műveletek
defi níciói alapján. 66. 1. 1; 2. 8; 3. 2; 4. 4. 67. A B10 ,E E

, A B101 0 10+E E E . 68. ; ;A 1 8 19= " , , ; ;B 9 12 21= " , .

13135-1_Matematika FGY_Book.indb 42213135-1_Matematika FGY_Book.indb 422 2013.11.21. 16:24:142013.11.21. 16:24:14

Page 27

MathMagic Equation EPS


A

B

C

MI.

423

69. ; ; ; ;A 1 2 3 4 6= " , , ; ;B 1 3 5= " , . 70. Rajzoljunk Venn-diag-
ramokat. 71. 1; ; ; ; ;A 2 4 6 8 9= " , , 1; ; ; ; ; 1 ; 1B 2 3 5 9 0 1= " , ,

1; ; ; ; 1C 3 4 7 1= " , . 72. Például: ;1 2" , , ;2 3" , , ;3 1" , .
73. {a; c; d; e}, {a; b; d; e}, {a; b; c; d}, {a; b; c; e}, {b; c; d; e}.
74. Használjuk a műveletek defi nícióit. 75. Lásd a 63. ábrát!

63. ábra

76. {1; 2; 3; 4; 5}, {1; 6; 7; 8; 9}, {2; 6; 10; 11; 12}, {3; 7; 10; 13; 14},
{4; 8; 11; 13; 15}, {1; 9; 12; 14; 15}. 77. Mutassuk meg, hogy
mindkét oldalon ugyanazok az elemek szerepelnek.
78. a) {-2; 0; 1}, illetve {-2; -1; 0}; b) {-2; -1; 0; 1}, illetve
{1}; c) {-2; 0; 1},{-2; -1; 0} = {-2; -1; 0; 1}, illetve
{-2; 0; 1} \ {-2; -1; 0} = {1}. 79. a) {0; 1; 2; 3; 4}; b) {1; 3};
c) 4 ; d) {2}; e) F G H, , ; f) \F G H,^ h ; g) \F G H,^ h;
h) F G H+ + . 80. Nem, például a x

x
x

1
2

=
-
-

^ h , b x
x
x

2
1

2

=
-
-

^ h .

81. a x
x

x 1
=

-
^ h , b x

x
x

1

2

=
+

^ h , c x
x
x

1
2

=
-
-

^ h . 82. Például

b x
a x

1
=^

^
h

h
esetén teljesül az állítás. 83. a) R \ {-2; 0; 1}.

84. a) R \ {0, 1}, illetve R \ {-2}; b) {-2; 2}, illetve {-1; 0}; c) {-1; 2}.
85. I I I

1 2 3
+ + = {2}, I I I

1 2 4
+ + = [1; 2], I I I

1 3 4
+ + = {2},

I I I
2 3 4
+ + = [2; 3].

A \ (B , C)

(A \ C) \ [A \ (B , C)]

(A \ B) \ [A \ (B , C)]

(C \ A) \ [C \ (A , B)]

C \ (A , B)

B \ (A , C) [A \ (A \ B)] \ (A \ C)

13135-1_Matematika FGY_Book.indb 42313135-1_Matematika FGY_Book.indb 423 2013.11.21. 16:24:142013.11.21. 16:24:14

Similer Documents