Download Terjemahan Dinamika Struktur (Chopra) PDF

TitleTerjemahan Dinamika Struktur (Chopra)
File Size1.2 MB
Total Pages49
Document Text Contents
Page 2

2




GETARAN BEBAS



PENDAHULUAN

Pada bab ini akan membahas permasalahan mengenai getaran bebas yang terjadi pada

suatu struktur. Getaran bebas ini terjadi karena adanya suatu paksaan seperti pergerakan

akibat adanya gempa sehingga menyebabkan terjadinya kehilangan kesetimbangan

pada struktur. Ada beberapa macam pendekatan yang bisa dilakukan untuk menghitung

getaran bebas ini yaitu berupa pendekatan terhadap frekuensi getaran bebasnya dan

rasio redaman sistem derajat kebebasan tunggal ( Single Degree of Freedom/SDF).

Selanjutnya akan dilihat juga laju pergerakan kerusakan struktur pada getaran bebas

yang dikontrol oleh rasio redaman yang mana hasil analisisnya akan menghasilkan nilai

getaran bebas sebagai acuan untuk menghitung frekuensi alami dan rasio redaman pada

struktur.



1. Getaran bebas nir-redaman

Sistem SDF linier digambarkan seperti sebuah rangka portal sederhana dimana mencari

gaya p (t) telah dibahas pada bab 1. Ketika p(t) = 0 maka terjadi perubahan diferensial

untuk sistem getaran bebas dimana saat nilai redaman = 0 maka rumusnya adalah



Getaran bebas merupakan getaran yang terjadi karena adanya gangguan pada sistem

kesetimbangan struktur yang kaku. Nilai perpindahan jarak u diberikan 0 dan nilai

kecepatan (U)= 0 membuat persamaan baru sebagai solusi untuk mencari persamaan

diferensial yang homogen yaitu

( ) ( )
( )̇




Rumus diatas selanjutnya diplot pada gambar 1 dan didapatkan gambaran bahwa posisi

kesetimbangan statis struktur didapatkan ketika sistem mengalami pergerakan akibat

getaran yang dimana pergerakan ini berulang setiap 2 π/ωn detik. Pergerakan ini

selanjutnya dikenal sebagai pergerakan harmonik sederhana. Kurva perpindahan

terhadap waktu pada gambar 1 memperlihatkan satu putaran siklus suatu sistem struktur

pada saat terjadinya getaran bebas dengan a-b-c-d-e sebagai parameternya. Pada Saat

kesetimbangan statis berada pada titik a, struktur bergerak ke kanan mencapai

perpindahan maksimum u0 di titik b. Pada saat waktu kecepatan 0 dan perpindahan

menjadi lambat, struktur kembali ke titik kesetimbangannya di titik c dan kemudian

bergerak kekiri lagi mencapai perpindahan minimum –u0 di titik d kemudian melambat

dan mencapai kesetimbangan statis kembali pada titik e. Pada saat kembali ke titik e

setelah melewati 2 π/ωn detik dari titik a, maka siklus perpindahan dan waktu terhadap

getaran bebas dimulai dari awal kembali.

Page 24

24






Pers. (3.2.6) di plot untuk tiga rasio redaman : ζ = 0,01 dan 0,1. Untuk mempelajari bagaimana

respon membangun untuk kondisi tetap, kita mengulang puncak uj setelah j melingkari getaran.

Hubungan antara uj dan j dapat ditulis oleh substitusi t = jTn dalam pers. (3.2.8), mengatur

cos ωnt = , dan menggunakan pers. (3.2.7) untuk mencapai :


(3.2.9)

Hubungan ini di plot ke dalam Fig. 3.2.4 untuk ζ = 0.01, 0.02, 0.05, 0.10 dan 0.20. Poin yang

memiliki ciri tersendiri ini terhubung oleh kurva untuk mengenal kecendrungan, tapi hanya

nilai bilangan pada j sangat berarti.

Page 48

48


Sebuah periodik eksitasi menyiratkan bahwa eksitasi telah ada untuk waktu yang lama, dimana

dalam waktu respons sementara berhubungan dengan perpindahan awal dan kecepatan sudah

berkurang. Hingga, hanya untuk eksitasi harmonis, kita tertarik untuk mencari respons kondisi

tetap. Respons dari sistem linear terhadap gaya periodik dapat ditentukan dengan

menggabungkan respons terhadap istilah eksitasi individu dalam deret Fourier.

Respon dari sistem tidak teredam untuk gaya konstan p (t) = a0 diberikan oleh persamaan (f)

dari Contoh 1.5, di mana istilah cos ωt akan berkurang karena redaman (lihat bagian 4.3),

meninggalkan solusi kondisi tetap.

Respons kondisi tetap dari sistem SDF teredam vicous terhadap cosinus gaya harmonik p (t) =

cos a1 (} wot) diberikan oleh persamaan (3.2.3) dan (3.2.26) dengan ω diganti dengan jw0:



Demikian pula, respons kondisi tetap dari sistem terhadap gaya sinusoidal sin bj (jω0t) diberikan

oleh persamaan (3.2.3) dan (3.2.4) dengan ω diganti dengan jω0:



Jika ζ=0 dan salah satu βj=1, respons kondisi tetap tak terbatas dan tidak bermakna karena

respon sementara tidak pernah berkurang (lihat Bagian 3.1); selanjutnya diasumsikan bahwa

ζ≠0 dan βj≠1.

Repons kondisi tetap dari sistem dengan redaman eksitasi periodik p (t) adalah kombinasi tar

respons terhadap istilah individu dalam deret Fourier:

Kontribusi relatif dari berbagai istilah harmonik dalam persamaan (3.13.6) tergantung pada dua

faktor: (1) amplitudo aj dan bj komponen harmonik dari fungsi paksaan p (t), dan (2) rasio

frekuensi βj. Repons akan didominasi oleh komponen harmonik yang βj dekat dengan kesatuan

[yaitu, frekuensi paksaan jw0 dekat dengan frekuensi alami (lihat Gambar. 3.2.6)].

Empat istilah pertama dari deret ini ditunjukkan pada Gambar. E3.8b, di mana frekuensi dan

amplitudo relatif 1, 1/3, 1/5, 1/7 dari empat harmonik yang jelas. Jumlah dari istilah Fourier

ditunjukkan pada Gambar. E3.8c, di mana empat istilah memberikan representasi yang wajar

dari fungsi paksaan. Pada t = T0/2, dimana p (t) tidak kontinu, deret Fourier konvergen ke nol,

nilai rata-rata dari p(T0/2).



Respon dari sistem SDF terhadap fungsi paksaan Persamaan (e) diperoleh dengan

mensubtitusikan persamaan (b), (c), dan (d) dalam Pers. (3.13.6) untuk mendapatkan

Similer Documents